Question

如图①，抛物线y=ax²+bx+c过原点，且当时有最小值，并经过点A（-4，2），同时AB平行于x轴交抛物线于点B；
（1）求该抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥x轴于C，在x轴上是否存在点D，使△AOC与△BOD相似？
（3）如图②，将△AOB绕着点O按逆时针方向旋转后到达△A′OB′的位置，当线段A′B′的中点E正好落在直线OA上时，求直线A′B′与直线AB的交点P的坐标．

Answer

（1）由于AB∥x轴，根据抛物线的对称性知：点A、B关于抛物线的对称轴对称，由此可求得B点的坐标，然后将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）根据A、B、O三点坐标，可求得OA、OB、AB的长，即可由勾股定理的逆定理判定△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，即∠AOC、∠BOD互余，由此可得∠OAC=∠BOD；若△AOC与△BOD相似，则有两种情况：
①∠BDO=90°，此时BD⊥x轴，根据点B坐标即可得到点D的坐标；
②∠OBD=90°，此时△AOC∽△ODB，根据相似三角形所得比例线段即可求得D点的坐标．
（3）设直线OA与A′B′的交点为M，当点M在第二象限时，由于△A′OB′是由△AOB旋转而得，那么∠A′OB′=90°，在Rt△A′OB′中，若M是斜边A′B′的中点，那么A′M=OM，即∠MOA′=∠A′，由旋转的性质知∠A=∠A′，等量代换后可求得AB∥OA′，即A′在x轴上，由此可求得点A′、B′的坐标，进而可确定直线A′B′的解析式，联立直线AB的解析式，即可求得点P的坐标；当点M在第四象限时，也可能落在直线OA上，解法同上．
【解析】
（1）∵AB∥x轴，且抛物线同时经过A、B两点，
∴A、B关于抛物线的对称轴对称；
由于A（-4，2），故B（1，2）；
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：
，解得；
故抛物线解析式为；（1分）
点B坐标为（1，2）；（1分）

（2）∵A（-4，2），B（1，2），O（0，0），
∴AB=5，OA=2，OB=；
∴OB2+OA2=5+20=25=AB2，
故△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠AOC+∠CAO=90°，∴∠CAO=∠BOD；
若∠BDO=90°，则△ACO∽△ODB，此时D（1，0）；（2分）
若∠OBD=90°，则△ACO∽△OBD，
∴，得OD=5，
∴D（5，0）；（2分）

（3）当线段A′B′的中点落在第二象限时，设A'B'与直线OA的交点为M，
∵∠A′OB′=90°，
∴A'M=OM，
∴∠MOA′=∠A′=∠A，
∴AB∥OA′；
∵AB∥x轴，
∴OA′与x轴重合；
此时A′（，0），，
则直线A′B′的函数，（2分）
点P坐标为．（2分）
当线段A′B′的中点落在第四象限时，同理P坐标为．（2分）