Question

已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

（1）若折叠后使点B与点O重合，则点C的坐标为______；若折叠后使点B与点A重合，则点C的坐标为______；
（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
（3）若折痕经过点O，请求出点B落在x轴上的点B′的坐标；
（4）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，且使DB′⊥OA，求此时点C的坐标．

Answer

（1）根据对折得出OC=BC，根据OB=4求出即可；连接AC，推出BC=AC，设OC=a，则AC=BC=4-a，在Rt△ACO中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）连接B′C，得出BC=B′C=4-y，在Rt△B′OC中，由勾股定理得出方程y2+x2=（4-y）2，由（1）即可得出x的范围，求出即可；
（3）根据已知得出BO=B′O，即可得出答案；
（4）连接B′C，设OB′=x，OC=y，求出B′C∥BD，推出△OB′C∽△OAB，得出=，求出y=2x，在Rt△COB′中，由勾股定理得出x2+（2x）2=（4-2x）2，求出x即可．
（1）【解析】
如图（1），∵OB=4，延CD折叠后使点B与点O重合，
∴OC=BC=OB=2，
∴C的坐标是（0，2），
如图（2）连接AC，
∵OB=4，延CD折叠后使点B与点A重合，
∴BC=AC，
设OC=a，则AC=BC=4-a，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC2+OA2=AC2，
a2+22=（4-a）2，
解得：a=，
即C（0，），
故答案为：（0，2），（0，）．
（2）【解析】
如图（3）连接B′C，
∵延CD折叠后使点B与点B′重合，
∴BC=B′C=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理得：OC2+OB′2=B′C2，
y2+x2=（4-y）2，
即y=-x2+2，y的取值范围是≤y＜2．
（3）【解析】
如图（4）
∵若折痕经过点O（C和O重合），点B落在x轴上的点B′，
∴OB=OB′=4，
即B′的坐标是（4，0）．
（4）【解析】
如图（5）连接B′C，
设OB′=x，OC=y，
∵延CD折叠B和B′重合，
∴BC=B′C，BD=B′D，
∴∠CBB′=∠CB′B，∠DBB′=∠DB′B，
∵B′D⊥OA，∠AOB=90°，
∴B′D∥OB，
∴∠CBB′=∠BB′D，
∴∠CBB′=∠B′BD，
∴B′C∥BD，
∴△OB′C∽△OAB，
∴=，
∴=，
即y=2x，
∴OB′=x，OC=2x，BC=4-2x=B′C，
在Rt△COB′中，由勾股定理得：x2+（2x）2=（4-2x）2，
∵x为边长，
∴x＞0，
解方程得：x=4-8，2x=-16+8，
∴C的坐标是（0，-16+8）．