Question

如图，梯形OABC中，CB∥OA，O为坐标原点，A（4，0），C（0，4），tan∠BAO=2，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动到点B后，再以每秒个单位的速度沿线段BA运动，到点A停止，过点P作PQ⊥x轴于Q，以PQ为一边向左作正方形PQRS，设运动时间为t（秒），正方形PQRS与梯形ABCD重叠的面积为S（平方单位）．
（1）求点B的坐标．
（2）求S与t的函数关系式．
（3）求（2）中的S的最大值．
（4）连接OB，OB中点为M，正方形PQRS在变化过程中，使点M在正方形PQRS的边上的t值为______．

Answer

（1）过B作BD垂直于x轴于D点，由C的坐标得出OC的长，再由A的坐标得出OA的长，根据四边形BDOC为矩形，得到对边相等，即BC=OD，BD=OC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠BAO，根据tan∠BAO=2及BD的长，求出AD的长，同时利用勾股定理求出AB的长，由OA-AD求出OD的长，由BD与OD的长，及B在第一象限，写出B的坐标即可；
（2）根据P的位置分三种情况考虑：（i）当P在BC边上时，正方形PQRS与梯形ABCD重叠的面积为矩形PQOC的面积，而PQ=OC=4，CP=t，表示出S与t的关系式，并写出此时t的范围；（ii）当P在AB边上，且S在y轴左侧时，如图所示，P在BC边上运动的时间是2秒，P在BA边上运动由时间（t-2）秒，根据P每秒个单位的速度沿线段BA运动，利用路程=时间×速度，表示出BP的长，由AB-BP表示出AP，在直角三角形APQ中，由tan∠BAO=2，设AQ=x，则有PQ=2x，利用勾股定理表示出AP，列出关于x的方程，求出方程的解表示出AQ与PQ，由OA-AQ求出OQ的长，由矩形的两条边OQ与PQ的乘积即可得出S与t的关系式，并写出此时t的范围；当P在AB边上，且S在y轴右侧时，如图所示，此时重合部分为正方形PQRS，由表示出的PQ，即可表示出此时S与t的关系式，并求出此时t的范围；
（3）由（2）得出的S与t的关系式，利用一次函数及二次函数的性质求出三个函数的最大值，比较后即可求出S的最大值；
（4）分两种情况考虑：（i）当P在BC边上时，若PQ过M点，由M为OB的中点，得到BM=OM，再由BC与OA平行，利用两直线平行得到两对内错角相等，利用AAS可得出三角形PBM与三角形OMQ全等，利用全等三角形的对应边相等得到PB=OQ，而OQ=CP=t，得到CP=PB，PB=CB-CP=2-t，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）当P在AB边上运动时，此时S与M重合，由M为OB的中点，MP平行于OA，利用平行线等分线段定理得到P为AB的中点，即MP为三角形AOB的中位线，利用中位线定理得到MP为OA的一半，求出MP的长，即为此时正方形的边长，由PQ=8-2t，令8-2t等于求出的边长列出关于t的方程，求出方程的解即可得到此时t的值．
【解析】
（1）过B作BD⊥x轴于D点，如图所示：

由C（0，4），得到OC=4，由A（4，0），得到OA=4，
∵四边形BDOC为矩形，∴BC=OD，BD=OC=4，
在Rt△ABD中，tan∠BAO==2，AB==2，
解得：AD=2，
∴OD=OA-AD=4-2=2，
∴B（2，4）；
（2）分三种情况考虑：
（i）当P点在BC边上运动时，由题意得：CP=t，
又四边形PQOC为矩形，∴PQ=OC=4，
则正方形PQRS与梯形ABCD重叠的面积为S=CP•PQ=4t（0≤t≤2）；
（ii）当P在BA边上运动时（S在y轴左侧），如图所示：

由题意得：BP=（t-2），又AB=2，
∴AP=AB-BP=2-（t-2）=（4-t），
在Rt△APQ中，tan∠BAO==2，设AQ=x，则PQ=2x，
根据勾股定理得：AP=x，又AP=（4-t），
∴x=（4-t），即x=4-t，
∴AQ=4-t，PQ=8-2t，
∴OQ=OA-AQ=4-（4-t）=t，
则正方形PQRS与梯形ABCD重叠的面积为S=OQ•PQ=t（8-2t）=-2t2+8t（2≤t＜）；
（iii）当P在BA边上运动时（S在y轴右侧），如图所示：

同理得到PQ=8-2t，此时重合部分为正方形PQRS，
则S=PQ2=（8-2t）2=4t2-32t+64（≤t＜4）；
（3）由（2）列出的函数关系式，分三种情况考虑：
（i）S=4t（0≤t≤2），由一次函数为增函数，故当t=2时，S最大=8；
（ii）S=-2t2+8t（2＜t＜），此时S没有最大值；
（iii）S=4t2-32t+64（≤t＜4），由二次函数性质得：当t=时，S=，
由＜8，得到问题（2）中的S的最大值是8；
（4）分两种情况考虑：
（i）当P在BC边上，且PQ过M点时，如图所示：

∵M为OB中点，
∴BM=OM，
又BC∥OA，
∴∠BPM=∠MQO，∠PBM=∠QOM，
∴△BPM≌△OQM（AAS），
∴PB=OQ，又OQ=CP=t，CB=2，
∴PB=2-t，即2-t=t，
解得：t=1；
（ii）当P在AB边上，且SR过M点时（此时S与M重合），如图所示：

∵M为OB的中点，MP∥OA，
∴P为AB中点，即MP为△AOB的中位线，
∴MP=OA=2，即正方形PQRS的边长为2，
由PQ=8-2t，得到8-2t=2，
解得：t=3，
综上，点M在正方形PQRS的边上的t值为1秒或3秒．
故答案为：1秒或3秒