Question

如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有（ ）

A．1对
B．2对
C．3对
D．4对

Answer

首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，又由DE=CE，FC=BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．
【解析】
图中相似三角形共有3对．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，
∵DE=CE，FC=BC，
∴DE：CF=AD：EC=2：1，
∴△ADE∽△ECF，
∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，
∴AE：EF=AD：DE，
即AD：AE=DE：EF，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠CEF+∠AED=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠D=∠AEF，
∴△ADE∽△AEF，
∴△AEF∽△ADE∽△ECF，
即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．
故选C．