Question

如图，直线y=x+b（b＞4）与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆．CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E．
（1）△CDE是______三角形；点C的坐标为______

Answer

（1）根据一次函数的性质得出∠DCE=45°，即可得出△CDE是等腰直角；再将y=x+b与y=-，联立求出交点坐标即可；
（2）根据已知得出四边形CAOE、OEDB是等腰梯形，进而得出OE=AC=BD=CD，再利用△AFC∽△AOB，求出b的值，即可得出答案；
（3）根据整个图形是轴对称图形，得出点O、E、G在对称轴上，即GC=GD=CD=OG=AG，再得出△AHC∽△AOB，求出b的值即可，进而判断出直线y=x+b与⊙O的位置关系和b的取值范围．
【解析】
（1）根据直线y=x+b（b＞4）与反比例函数的图象相交于点C、D，CE∥x轴，DE∥y轴，
则y=x+b与y=x平行，
故∠DCE=45°，
则△CDE是等腰直角三角形；
将y=x+b与y=-，联立得出：
x+b=-，
解得：x1=，x2=，分别代入y=x+b得：
y1=，y2=，
故点C的坐标为：（ ，），
点D的坐标为：（，）；
故答案为：等腰直角，（ ，），（，）；

（2）当点E在⊙O上时，如图1，连接OE．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴E点横坐标为：，纵坐标为：，
则OE=CD．
∵直线y=x+b与x轴、y轴相交于点A（-b，0），B（0，b），CE∥x轴，DE∥y轴，
∴△DCE、△AOB是等腰直角三角形．
∵整个图形是轴对称图形，
∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=45°．
∵CE∥x轴，DE∥y轴，
∴四边形CAOE、OEDB是等腰梯形．
∴OE=AC=BD．
∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD．
过点C作CF⊥x轴，垂足为点F．
则△AFC∽△AOB．
∴．
∴AF=CF=BO=b．
∴，
解得：．
∵b＞4，∴．
∴当时，点E在⊙O上．

（3）当⊙O与直线y=x+b相切于点G时，
如图2，连接OG．
∵整个图形是轴对称图形，
∴点O、E、G在对称轴上．
∴GC=GD=CD=OG=AG．
∴AC=CG=GD=DB．
∴AC=AB．
过点C作CH⊥x轴，垂足为点H．  
则△AHC∽△AOB．
∴．
∴C的纵坐标：．
∴，
解得．
∵b＞4，∴．
∴当时，直线y=x+b与⊙O相切；
当时，直线y=x+b与⊙O相离；
当时，直线y=x+b与⊙O相交．