Question

如图，△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交AB、AC于点F、G，连接BE．
（1）若△ABC的面积是1，则△ADE的最小面积为______；
（2）求证：△AEB≌ADC；
（3）探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由．

Answer

（1）根据题意得当AD最小时三角形AED的面积最小，当AD为BC边上的高时AD最短，首先求得AD的长然后求得面积即可；
（2）利用等边三角尺是性质得到AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，然后得到∠EAB=∠DAC，从而证明两个三角形全等；
（3）根据全等三角形得到∠ABE=∠BAC，从而得到EB∥GC．再根据EG∥BC判定四边形BCGE是平行四边形即可．
证明：（1）由题意得当AD⊥BC时，AD最小；
此时AD：AB=：2
∵△ABC的面积是1，
∴△ADE的最小面积为；

（2）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．（1分）
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC．（3分）

（3）方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC．（5分）
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）

方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．（5分）
由①得△AEB≌△ADC．得BE=CG．
∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）