Question

如图，已知△ABC中，∠A=90°，AC=10，AB=5，点A、C分别在x轴和y轴上，且C（0，8），抛物线y=x²+bx+c过B、C两点．
（1）求抛物线解析式．
（2）如果将△ABC沿CA翻折，设点B的落点为点M，现平移抛物线，使它的顶点为M，求出平移后的抛物线解析式，并写出平移的方法．

Answer

（1）设点B（x，y）．根据二次函数图象上点的坐标特征，C点代入函数解析式求得c值及y=x2+bx+8③；然后根据勾股定理、两点间的距离公式求得（x-6）2+y2=25①，
125=x2+（y-8）2②，联立①②③解出b值．
（2）根据折叠的性质知，点M与点B关于点A对称，所以M（2，-3）．然后根据顶点式二次函数的解法求平移后的抛物线的方程；最后由平移的方法回答问题．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+bx+c过C点，且C（0，8），
∴8=c，
∴OC=8；
在Rt△AOC中，AC=10，OC=8，
∴根据勾股定理，得OA=6．
如图1，过点B作BD⊥x轴于点D．
∵∠COA=∠ADB=90°，∠ACO=∠BAD（同角的余角相等），
∴△COA∽△ADB，
∴=，即=，则DA=4．
∴BD=3（勾股定理），
∴B（10，3）．
∵抛物线y=x2+bx+c过B、C两点．
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式是：y=x2-3x+8，
即y=（x-6）2-1；

（2）由（1）得B（10，3）．
根据题意知，点M与点B关于点A对称，所以M（2，-3）．
∴平移后的抛物线解析式是：
y=（x-2）2-3；
方法：向左平移4个单位，再向下平移2个单位．