Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，O是AB的中点，经过O、C两点的圆分别与AC、BC相交于D、E两点．
（1）求证：OD=OE；
（2）求：四边形ODCE的面积．

Answer

（1）首先连接OC，根据等腰直角三角形的性质得出，∠A=∠OCE=45°，进而得出∠AOD=∠COE，即可得出△AOD≌△COE，得出OD=OE；
（2）根据△AOD≌△COE，得出S△AOD=S△COE，即可求出S四边形ODCE=S△AOC=S△ABC，得出答案即可．
方法一：
【解析】
（1）连接OC如图：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴OA=OC，∠A=∠OCE=45°，∠AOC=90°，
又∵∠DOE=180°-∠ACB=90°，
∴∠AOD=90°-∠DOC，∠COE=90°-∠DOC，
∴∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE，
∴OD=OE，

（2）∵△AOD≌△COE，
∴S△AOD=S△COE，
∴S四边形ODCE=S△AOC=S△ABC，
∴S四边形ODCE=××2×2=1；

方法二：
（1）过O分别作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N如图
则四边形OMCN是矩形，∠MON=90°
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABC，
∴，
又∵BC=2，
∴OM=1，
同理ON=1，
OM=ON，
四边形OMCN是正方形，
∵∠DOM=90°-∠MOE，∠EON=90°-∠MOE，
∴∠DOM=∠EON，
又∵∠OMD=∠ONE=90°，
∴△DOM≌△EON，
∴OD=OE；
（2）∵△DOM≌△EON，
∴S△ODM=S△OEN，
∴S四边形ODCE=S正方形OMCN，
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