Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ （0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（Ⅰ）如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；
（Ⅱ）如图②，连接AA′、BB′，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S₁、S₂．求证：S₁：S₂=1：3；
（Ⅲ）如图③，设AC的中点为E，A′B′的中点为P，AC=a，连接EP．求当θ为何值时，EP的长度最大，并写出EP的最大值 （直接写出结果即可）．

Answer

（1）当AB∥CB′时，∠BCB′=∠B=∠B′=30°，则∠A′CD=90°-∠BCB′=60°，∠A′DC=∠BCB′+∠B′=60°，可证：△A′CD是等边三角形；
（2）由旋转的性质可证△ACA′和△BCB′，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；
（3）连接CP，当E、C、P三点共线时，EP最长，根据图形求出此时的旋转角及EP的长．
（Ⅰ）证明：如图①，
∵AB∥CB'，
∴∠BCB'=∠ABC=30°，
∴∠ACA'=30°．
又∵∠ACB=90°，
∴∠A'CD=60°．
又∵∠CA'B'=∠CAB=60°，
∴△A'CD是等边三角形．

（Ⅱ） 证明：如图②，
∵AC=A'C，BC=B'C，
∴．
又∵∠ACA'=∠BCB'，
∴△ACA'∽△BCB'．
∵=tan30°=，
∴S1：S2=AC2：BC2=1：3．

（Ⅲ）当θ=120°时，EP的长度最大，EP的最大值为．
【解析】
如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，
此时θ=∠ACA′=120°，
∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°，
∴A′C=AC=A′B′=a，
∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′=90°
∴CP=A′B′=a，EC=a，
∴EP=EC+CP=a+a=a．