Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙M过点O且与y轴、x轴分别交于A、B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点，点C与点M关于x轴对称，已知点M的坐标为（2，-2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线OC与⊙M的位置关系，并证明；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线OC上的动点，判断是否存在以点P、Q、A、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出相应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）连接AM、BM，过点M作MD⊥x轴，ME⊥y轴，由等腰三角形的性质可得出AB两点的坐标，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）根据点C与点M关于x轴对称，点M的坐标为（2，-2）求出点C的坐标，连接MC，OM，利用两点间的距离公式得出OM2，OC2，MC2，的值，利用勾股定理的逆定理判断出△OMC是等腰直角三角形，故可得出OM⊥OC，进而得出结论；
（3）先根据C点坐标求出直线OC的解析式，由AB两点的坐标求出直线AB的解析，由两直线的解析式得出直线AB与直线OC平行，B点即为所求点P，再分OA为平行四边形的边和对角线两种情况求出Q点的坐标即可．
（1）【解析】
如图1所示：
连接AM、BM，过点M作MD⊥x轴，ME⊥y轴，
∵M（2，-2），
∴D（2，0），E（0，-2），
∴A（0，-4），B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2-3x-4；

（2）相切．
证明：如图2，∵点C与点M关于x轴对称，点M的坐标为（2，-2），
∴C（2，2），
∵点C是直线OC上的点，
连接MC，OM，
∵M（2，-2），C（2，2），
∴OM2=22+（-2）2=8，
OC2=22+（-2）2=8，
MC2=（2-2）2+（-2-2）2=16，
∵MC2=OM2+OC2，
∴△OMC是等腰直角三角形，
∴OM⊥OC，
∴直线OC与⊙M相切；

（3）存在．
设直线OC的解析式为：y=kx（k≠0），
∵点C是直线OC上的点，
∴2=2k，解得k=1，
∴直线OC的解析式为：y=x，
∵A（0，-4），B（4，0），
连接AB，
设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵A（0，-4），B（4，0），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y=x-4，
∴直线AB与直线OC平行，B点即为所求点P，
当OA为平行四边形的边时，如图3所示：
过点B作BQ1⊥x轴于点Q1，
∵BQ1⊥x轴，
∴点的横坐标为4，纵坐标y=4，
∴Q1（4，4）；
当OA为平行四边形的对角线时，如图4所示：
过点A作AQ2∥x轴交直线OC于点Q，
则点Q2的纵坐标为-4，横坐标x=-4，
∴Q2（-4，-4）．
综上所述：Q点的坐标为Q1（4，4），Q2（-4，-4）．