Question

如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）求∠ABE+2∠D的度数；
（3）求的值．

Answer

（1）连接OC，BD，AE，根据OC∥BD，OC为△ABD的中位线，可知：BD=2OC，得BD的长；
（2）连接AE，根据切线长定理知：AB=EB，可得：∠BAE=∠BEA；根据圆周角相等，得：∠D=∠AEB，可将∠ABE+2∠D的值求出；
（3）根据△BGO∽△AGB，可将的值求出．
【解析】
（1）连接OC，BD，
∵AB是小圆的切线，C是切点，
∴OC⊥AB，
∴C是AB的中点．
∵AD是大圆的直径，
∴O是AD的中点．
∴OC是△ABD的中位线．
∴BD=2OC=10．

（2）连接AE．
由（1）知C是AB的中点．
同理F是BE的中点．
即AB=2BC，BE=2BF，
由切线长定理得BC=BF．
∴BA=BE．
∴∠BAE=∠E．
∵∠E=∠D，
∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180°．

（3）连接BO，在Rt△OCB中，
∵OB=13，OC=5，
∴BC=12．
由（2）知∠OBG=∠OBC=∠OAC．
∵∠BGO=∠AGB，
∴△BGO∽△AGB．
∴．