Question

已知抛物线F₁：y=ax²+2ax+3a的顶点为M．
（1）若M在双曲线上，求此抛物线解析式．
（2）将F₁绕点M旋转180°后的抛物线为F₂，
①若F₂与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知△ABC为直角三角形，求a的值．
②若F₂与直线y=ax-3a交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点M，求a的值．

Answer

（1）首先利用配方法，可得y=ax2+2ax+3a=a（x2+2x）+3a=a（x+1）2+2a，则可求得顶点M的坐标，又由M在双曲线上，即可求得a的值，继而可得此抛物线解析式．
（2）①由将F1绕点M旋转180°后的抛物线为F2，可得F2：y=-a（x+1）2+2a，则可求得A、B、C的坐标，又由△ABC为直角三角形，由勾股定理，即可方程[（-1-）2+a2]+[（-1+）2+a2]=[（-1-）-（-1+）]2，解此方程即可求得答案；
②由F2与直线y=ax-3a交于P、Q两点，即可得方程-a（x+1）2+2a=ax-3a，继而求得P、Q两点的坐标，又由以PQ为直径的圆经过点M，根据圆周角定理，即可得∠PMQ=90°，然后由勾股定理，即可求得a的值．
【解析】
（1）∵y=ax2+2ax+3a=a（x2+2x）+3a=a（x+1）2+2a，
∴顶点M为（-1，2a），
∵M在双曲线上，
∴将x=-1，y=2a代入y=，得：2a=，
解得：a=-1，
∴此抛物线解析式为：y=-x2-2x-3；

（2）①∵F1：y=a（x+1）2+2a，
∴F2：y=-a（x+1）2+2a，
∵当y=0时，可得：-a（x+1）2+2a=0，
解得：x=-1±，
∴A（-1-，0），B（-1+，0），
∵当x=0时，y=a，
∴C（0，a），
∵△ABC为直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2，
即[（-1-）2+a2]+[（-1+）2+a2]=[（-1-）-（-1+）]2，
解得：a=±1；

②∵F2与直线y=ax-3a交于P、Q两点，
∴-a（x+1）2+2a=ax-3a，
解得：x=-4或x=1，
∴P、Q两点的坐标分别是（-4，-7a）、（1，-2a），
∵以PQ为直径的圆经过点M，
∴∠PMQ=90°，
∴PM2+QM2=PQ2，
即[（-4+1）2+（-7a-2a）2]+[（1+1）2+（-2a-2a）2]=（-4-1）2+（-7a+2a）2，
解得：a=±．