Question

在△ABC中，BD是△ABC的中线，点P为BD上一点，且BP=2PD，过点P作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．
（1）如图一，若BA=BC，写出图中所有与PM相等的线段，并分别给出证明；
（2）如图二，过BA≠BC，在（1）中与PM相等的线段中找出一条仍然与PM相等的线段，并给出证明．

Answer

（1）首先过点M作ME∥AC，由在△ABC中，BD是△ABC的中线，BA=BC，根据三线合一的性质，可得BD是高，是角平分线，又由MN∥BC，易证得△PMB是等腰三角形，即可得PM=BM，然后证得PE=PD，即可证得△PME≌△PND，继而证得PM=PN；
（2）首先过点M作ME∥AC，根据平行线分线段成比例定理，易证得ME=DN=CD，则可证得△PME≌△PND，继而证得PM=PN．
【解析】
（1）PM=PN=BM．
证明：过点M作ME∥AC，
∵BA=BC，BD是△ABC的中线，
∴BD⊥AB，∠ABD=∠CBD，
∴BD⊥ME，
∵MN∥BC，
∴∠CBD=∠MPB，
∴∠ABD=∠MPB，
∴PM=BM；
∴BE=PE=PB，
∵BP=2PD，
即PD=PB，
∴PD=PE，
在△PME和△PND中，

∴△PME≌△PND（AAS），
∴PM=PN．
∴PM=PN=BM．

（2）PM=PN．
证明：过点M作ME∥AC，
∴，
∵MN∥BC，
∴，
∵PB=2PD，
∴，
∴DN：DC=1：3，
即CD=3DN，
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴CN：AC=1：3，
∴，
∴，
即AD=3EM，
∴CD=3EM，
∴EM=DN，
∵ME∥AC，
∴∠PME=∠PND，
在△PEM和△PDN中，
，
∴△PEM≌△PDN（AAS），
∴PM=PN．