Question

如图1，抛物线y=a（x-2）²-2的顶点为C，抛物线与x轴交于A，B两点（其中A点在B点的左边），CH⊥AB于H，且tan∠ACH=
（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标平面内是否存在一点D，使得以O、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，求所有的符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，将（1）中的抛物线平移，使其顶点在y轴的正半轴上，在y轴上是否存在一点M，使得平移后的抛物线上的任意一点P到x轴的距离与P点到M的距离相等？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据给出的抛物线解析式，能得到顶点C的坐标，则CH长可求，在Rt△ACH中，结合∠ACH的正弦值能得到AH的长，在确定点A的坐标后代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．
（2）这道题需要充分利用等腰梯形的性质：两底平行、两腰相等、对角线相等、同一底上的两内角相等．首先根据上述特点中的相等角，找出点D的大致位置，然后再根据相等的边长求出点D的坐标，在求解时要分三种情况考虑：以OB、OC、BC为下底进行考虑．
（3）首先用未知数表示平移后的抛物线解析式（平移过程中，二次项系数是不变的）和点M的坐标，然后用两点间的距离公式求出PM的长，依据“P到x轴的距离与P点到M的距离相等”作为等量条件求出点M的坐标．
【解析】
（1）由抛物线的解析式知：C（2，-2）；
在Rt△ACH中，CH=2，AH=CH•tan∠ACH=2×=1，则 A（1，0）、B（3，0）．
将点A的坐标代入抛物线的解析式中，得：
0=a（1-2）2-2，则 a=2；
∴抛物线的解析式：y=2（x-2）2-2=2x2-8x+6．

（2）假设存在符合条件的D点．
连接OC、BC，由B（3，0）、C（2，-2）得：
OB=3；∠HOC=∠HCO=45°，OC=2；tan∠HBC=2，BC=．
①当OB∥CD1、OD1=BC时，如右图；
点D1的横坐标的纵坐标与BH长相同，则点D1（1，-2）．
②当OD2∥BC、OC=BD2时；
tan∠D2OB=tan∠HBC=2，则 直线OD2：y=2x；
设点D2（x，2x），则：BD2==，
由OC=BD2得：2=，解得：x=，x=1（舍）
即点D2（，）．
③当OC∥BD3、OD3=BC时；
∠D3BO=∠HOC=45°，即tan∠D3BO=1，可设 B（x，3-x）；
由OD3=BC=，得：
x2+（3-x）2=5，解得 x=2，x=1（舍）
即点D3（2，1）．
综上可知，存在符合条件的点D，且坐标为：（1，-2）、（，）、（2，1）．

（3）设平移后的抛物线解析式为：y=2x2+m，那么其顶点为（0，m），若存在符合条件的点M，则M（0，2m）；（m＞0）
设P（x，2x2+m），则：
PM2=（x-0）2+（2x2+m-2m）2=x2+4x4-4mx2+m2，P到x轴的距离：2x2+m；
依题意有：x2+4x4-4mx2+m2=（2x2+m）2，解得：m=．
∴存在符合条件的点M，且坐标为 M（0，）．