Question

如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．
（1）求证：MD=MN；
（2）若将上述条件中的“M为AB边的中点”改为“M为AB边上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=MN”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

Answer

（1）要证MD=MN，就要构建△DFM≌△MBN，只需取AD的中点F，连接FM，依据正方形的性质可证
（2）只需作AF=AM，其余证法与1同．
（1）证明：取AD的中点F，连接FM．（1分）
∵∠FDM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°∴∠FDM=∠BMN，
∵AF=AD=AB=AM=MB=DF，
∵BN平分∠CBE，
∴∠DFM=∠MBN=135°．
∵DF=MB，
在△DFM和△MBN中
∵，
∴△DFM≌△MBN．（3分）
∴DM=MN．（4分）

（2）【解析】
结论“DM=MN”仍成立．（5分）
证明如下：
在AD上截取AF'=AM，连接F'M．（6分）
∵DF'=AD-AF'，MB=AB-AM，AD=AB，AF'=AM，
∴DF'=MB．（7分）
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠F'DM=∠BMN．（8分）
又∠DF'M=∠MBN=135°，
在△DF'M和△MBN中
∵，
∴△DF'M≌△MBN．（9分）
∴DM=MN．（10分）