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如图,⊙O与⊙A相交于C、D两点,A、O分别是两圆的圆心,△ABC内接于⊙O,弦...

如图,⊙O与⊙A相交于C、D两点,A、O分别是两圆的圆心,△ABC内接于⊙O,弦CD交AB于点G,交⊙O的直径AE于点F,连接BD.
求证:
(1)△ACG∽△DBG;
(2)AC2=AG•AB.

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(1)根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,得到∠ACG=∠DBG,∠CAG=∠GDB,然后根据相似三角形的判定方法即可得到结论; (2)根据两圆相交的性质得到连心线OA垂直平分公共弦CD,再根据垂径定理得弧AC=弧AD,然后根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠ACD=∠ABC,而∠CAG=∠BAC,根据相似三角形的判定方法得到△ACG∽△ABC,则AC:AB=AG:AC,利用比例的性质即可得到结论. 【解析】 (1)∵∠ACG=∠DBG,∠CAG=∠GDB, ∴△ACG∽△DBG; (2)∵⊙O与⊙A相交于C、D两点,A、O分别是两圆的圆心, ∴OA垂直平分CD, ∴弧AC=弧AD, ∴∠ACD=∠ABC, 而∠CAG=∠BAC, ∴△ACG∽△ABC, ∴AC:AB=AG:AC, ∴AC2=AG•AB.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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