Question

如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中点，过点E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°．现把梯形ABCO放置在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，OC在x轴正半轴上，点A、B在第一象限内．
（1）求点E的坐标；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交OC于点M，过M作MN∥AO交折线ABC于点N，连接PN．设PE=x．△PMN的面积为S．
①求S关于x的函数关系式；
②△PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由．若存在，求出面积的最大值；
（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．现在开始操作：固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）．设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′；探究：在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积y与时间t的函数关系式．

Answer

（1）根据AO的长和E为AO的中点求的OE的长，然后根据∠AOC=60°求的点E的坐标即可．
（2）分当0≤x≤1时、当1＜x≤4时求的S的最大值即可；
（3）分当0≤t≤2时、当2＜x≤4时、当4＜x≤5时三种情况利用梯形的面积公式求的面积与时间的函数关系式即可．
【解析】
（1）如图1，ED⊥OD与D点，
∵AO=4，E为AO的中点，
∴AE=2，
∵∠AOC=60°
∴ED=1，OD=
∴E（1，）；

（2）①当0≤x≤1时，在梯形ABCD中，由AB∥OC，MN∥OA，得MN=AB=4，
过点P作PH⊥MN，垂足为H，
由MN∥AO得∠NMC=∠B=60°所以∠PMH=30°
由E、F是AB、DC边的中点得EF∥BC，由EG⊥BC，PM⊥BC，得EG∥PM，
∴PM=EG=
在Rt△PMH中，sin∠PMH=，所以PH=PM•sin30°=
∴S△PMN=PH•MN=×4×=，
当1＜x≤4时，S=-，
②若0≤x≤1时，S=，
若1＜x≤4时，S=-
∵-＜0，
∴S随X的增大而减小，
∴S不存在最大值，
∴综上所述，当0≤x≤1时，S存在最大值，最大值为；

（3）当0≤t≤2时，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形内部，这时重叠部分的面积即为直角梯形面积，
y=×（2+3）×=（如图1），
当2＜x≤4时，y=（E′H′+D′G′）•D′E′=×（4-t+5-t）×=-t+，
当4＜x≤5时，DC=5-t，DE=（5-t）
∴y=DC•DE=（5-t）××（5-t）=（5-t）2．