Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，垂足为O，过D作DE∥AC交BC的延长线于E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面积．

Answer

（1）由AD∥BC可知AD∥CE，再根据AC∥DE，可知ACED是平行四边形；
（2）先由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的性质可知∠ACB=∠DBC，再由AC⊥BD，可知∠ACB=∠DBC=45°，OC=OB，由勾股定理得OC=OB=4，同理OA=OD=2，故可得出结论．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
又∵AC∥DE，
∴ACED是平行四边形；

（2）【解析】
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠BCD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
又∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠DBC=45°，
∴OC=OB，
∴在Rt△BOC中，OC=OB=BC•cos45°=4，同理OA=OD=2，
∴AC=BD=6，
∴S梯ABCD=AC•BD=（6）2=36．