Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将抛物线的顶点代入到抛物线的顶点式中得到y=a （ x-1）2+，然后将与y轴交于点C代入到上式中即可求得函数的解析式；
（2）利用等腰三角形的性质即可得到P点的坐标分别为P1 （1，），P2 （1，-），P3 （1，8），P4 （1，）；
（3）求得抛物线与x轴的交点坐标，然后过点F作FM⊥OB于点M，利用△BEF∽△BAC即可得到函数关系式S=-x2+x+，配方后即可求得最大值，从而求得E点的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线的顶点为（1，）
∴设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）2+
∵抛物线与y轴交于点C （0，4），
∴a （0-1）2+=4
解得a=-
∴所求抛物线的函数关系式为y=-（ x-1）2+

（2）P1 （1，），P2 （1，-），P3 （1，8），P4 （1，），

（3）存在．
令-（ x-1）2+=0，解得x1=-2，x2=4
∴抛物线y=-（ x-1）2+与x轴的交点为A （-2，0）B（4，0）
过点F作FM⊥OB于点M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴=
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=×OC=EB
设E点坐标为 （x，0），则EB=4-x，MF= （4-x）
∴S=S△BCE-S△BEF= EB•OC- EB•MF
= EB（OC-MF）= （4-x）[4- （4-x）]
=-x2+x+=-（ x-1）2+3
∵a=-＜0，
∴S有最大值
当x=1时，S最大值=3
此时点E的坐标为 （1，0）．