Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AE=CE；
（2）若EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，且CD=CF=2cm，求⊙O的直径；
（3）若EF与⊙O相切于点E，点C在线段FD上，且CF：CD=2：1，求sin∠CAB．

Answer

（1）连接DE，根据∠ABC=90°可知：AE为⊙O的直径，可得∠ADE=90°，结合点D是AC中点，可得出ED是AC的中垂线，从而可证得结论；
（2）根据△ADE∽△AEF，可将AE解出，即⊙O的直径求出；
（3）根据等角代换得出∠CAB=∠DEA，然后根据CF：CD=2：1，可得AC=CF，继而根据斜边中线等于斜边一半得出CE=BE=CF=AC，在RT△ADE中，求出sin∠DEA即可得出答案．
证明：（1）连接DE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE=90°，即DE⊥AC，
又∵D是AC的中点，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE；
（2）在△ADE和△EFA中，，
故可得△ADE∽△AEF，
从而=，即=，
解得：AE=2cm；
即⊙O的直径为2cm．
（3）∵∠CAB+∠ACB=90°，∠DEA+∠DAE=90°，∠DAE=∠ACB，
∴∠CAB=∠DEA，
∵CF：CD=2：1，点D是AC中点，
∴CF=2CD，AC=2CD，
∴AE=CE=AC=CF（斜边中线等于斜边一半）=2CD，
在RT△ADE中，sin∠DEA===．
故可得sin∠CAB=sin∠DEA=．