Question

现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．
（1）求AE、EF的位置关系；
（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．

Answer

（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；
（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出，
【解析】
（1）由折线法及点E是BC的中点，
∴EB=EB′=EC，∠AEB=∠AEB′，
∴△B'EC是等腰三角形，
又∵EF⊥B′C
∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF=∠FEC，
由①②得，∠AEF=90°，
即AE⊥EF；

（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，
∴EB=EB′=EC，
∴∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C；
又∵△BB'C三内角之和为180°，
∴∠BB'C=90°；
∵点B′是点B关于直线AE的对称点，
∴AE垂直平分BB′；
在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2=AB2-AO2=BE2-（AE-AO）2
将AB=4cm，BE=3cm，AE=5cm，
∴AO=cm，
∴BO==cm，
∴BB′=2BO=cm，
∴在Rt△BB'C中，B′C==cm，
由题意可知四边形OEFB′是矩形，
∴EF=OB′=，
∴S△B′EC=×B′C•EF=××=．