Question

在平面直角坐标系中A（0，2），B（4，0），已知AC交BC于点C，AC∥x轴，BC∥y轴，①以C为对称中心，作△ABC关于C的像△A₁B₁C；②将△ABC逆时针旋转90°得到△AB₂C₁（题中已经作出），继续沿y轴作△AB₂C₁的轴对称图形得到△AB₃C₁
（1）按要求做出△A₁B₁C和△AB₃C₁；
（2）已知抛物线P经过点A，B，A₁，请求出该抛物线方程；
（3）平移（2）中的抛物线，设新的抛物线方程为y=ax²-mx+3m²+5，并使抛物线的顶点落在△B₁B₂B₃边上或内部，求m的范围．

Answer

（1）根据网格结构找出点A、B关于点C的像，然后顺次连接即可得到△A1B1C，根据网格结构找出点B2关于y轴的对称点B3的位置，然后作出△AB3C1即可；
（2）根据平面直角坐标系写出点A、B、A1的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式计算即可得解；
（3）根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小求出a的值，然后表示出新抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线B1B3的解析式与直线B1B2的解析式，然后根据抛物线顶点坐标在△B1B2B3边上或内部，则横坐标在点B1、B3之间，纵坐标的值不大于直线B2B3的函数值，不大于直线B1B2的函数值，不小于直线B1B3的函数值，分别求不等式的解，然后求各解集的公共部分即可．
【解析】
（1）如图所示，△A1B1C和△AB3C1即为所求作的三角形；

（2）由图可知，A、B、A1的坐标分别为：A（0，2），B（4，0），A1（8，2），
设函数解析式为：y=ax2+bx+c，
则，
解得，
所以，该抛物线方程为y=x2-x+2；

（3）根据平移变换的性质并由题（2）可知a=，
所以，新抛物线为y=x2-mx+3m2+5=（x-4m）2+m2+5，
顶点坐标为（4m，m2+5），
根据图形，B1（4，4），B3（-2，6），设直线B1B3的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线B1B3的解析式为y=-x+，
根据图形B1（4，4），B2（2，6），设直线B1B2的解析式为y=ex+f，
则，
解得，
所以，直线B1B2的解析式为y=-x+8，
∵顶点在三角形内部或者边上，
∴①-2≤4m≤4，解得-≤m≤1，
②m2+5≤6，解得-1≤m≤1，
③-m+≤m2+5，整理得，3m2+m-1≥0，
解得m≥或m≤，
④-m+8≥m2+5，整理得，m2+m-3≤0，
解得≤m≤，
在数轴上表示如下：

所以，m的取值范围是≤m≤1．