Question

如图，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．
（4）在抛物线对称轴上是否存在点M，使点M到点A和B的距离之差最大？若存在，直接写出所有符合条件的点M坐标；不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据对称轴x=-，代入求出即可；
（2）令x=0，求出C的坐标，根据抛物线的对称求出点B的坐标，由AB=BC=5，OA=4，得到A的坐标，代入解析式即可求出解析式；
（3）分三种情况讨论：
①以AB为腰且顶角为∠A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出P1N的长，即可求出P1的坐标；
②以AB为腰且顶角为角B，根据MN的长和MP2的长，求出P2的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；
③以AB为底，顶角为角P时，依据Rt△P3CK∽Rt△BAQ即可求出OK和P3K的长，可得P3坐标；
（4）在抛物线的对称轴确定一点M，使|AM-BM|的值最大时，点M为直线AC与抛物线对称轴的交点．
【解析】
（1）对称轴为x=-=2.5，即抛物线y=ax2-5ax+4的对称轴是直线x=2.5；

（2）令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
又∵BC∥x轴，点B，C关于对称轴对称，
∴点B的坐标为（5，4），
又∵AC=BC，
∴AC=BC=5，OA=3，点A在x轴上，
∴点A的坐标为A（-3，0），
∵抛物线y=ax2-5ax+4经过点A，
∴9a+15a+4=0，
解得，a=-，
∴抛物线的解析式是y=-x2+x+4，
∴A，B，C三点的坐标分别是（-3，0），（5，4），（0，4），抛物线的解析式是y=-x2+x+4；

（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．
过点B作BQ⊥x轴于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=．
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P1AB．
∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80；
在Rt△ANP1中，P1N2=AP12-AN2=AB2-AN2 =80-（5.5）2 =，
∴P1（，-）；
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．
在Rt△BMP2中，MP22=BP22-BM2=AB2-BM2=，
∴P2（，4-）；
③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．
过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，
∵∠CP3K=∠ABQ，∠CKP3=∠AQB，
∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ．
∴P3K：CK=BQ：AQ=1：2．
∵P3K=2.5
∴CK=5，于是OK=1，
∴P3（，-1）；

（4）直线AC交抛物线对称轴于点M，连接MB．
∵对称轴x=是线段BC的垂直平分线，
∴MB=MC，
∴MA-MB=MA-MC=AC；
在抛物线对称轴上任取另外一点M′，则M′A-M′B=M′A-M′C＜AC（三角形两边之差小于第三边），
∴线段AC为差值最大值，
根据A，C坐标得出，直线AC的解析式为y=x+4．
则点M的坐标为（，）．