Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形AOB的直角顶点与原点O重合，点A、B分别在x、y轴上，且AB=．直线AB交反比例函数的图象于点C，且AB=2BC．过点C作CD⊥y轴于点D．
（1）求直线AB的函数解析式和过点C的反比例函数的解析式；
（2）连接AD、OC，求四边形AOCD的面积．

Answer

（1）根据等腰直角三角形的性质得AB=OB=OA，则OA=OB=4，得到点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4），然后利用待定系数法求出直线AB的函数解析式为y=x+4，由CD⊥y轴，得到△CDB也是等腰直角三角形，而AB=2BC，则BC=2，于是有CD=BD=2，则OD=BD+OB=2+4=6，得到点C的坐标为（2，6），再利用待定系数法求出点C的反比例函数的解析式；
（2）根据三角形面积公式得到S△AOD=×OA×OD=×4×6=12，S△ODC=×OD×CD=×6×2=6，然后利用S四边形AOCD=S△AOD+S△ODC计算即可．
【解析】
（1）∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠BAO=45°，
∴AB=OB=OA，
而AB=4，
∴OA=OB=4，
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4），
设直线AB的函数解析式为 y=kx+b（k≠0），
把点A（-4，0）和点B（0，4）分别代入y=kx+b（k≠0），得，解得，
∴直线AB的函数解析式为y=x+4，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDO=90°．
∴∠ABO=∠CBD=45°，
又∵AB=2BC，
∴BC=2，
∴CD=BD=2，
∴OD=BD+OB=2+4=6，
∴点C的坐标为（2，6），
设过点C的反比例函数的解析式为y=（m≠0）．
将点C（2，6）代入y=（m≠0），得6=，
∴m=12，
∴反比例函数的解析式为y=；

（2）∵S△AOD=×OA×OD=×4×6=12，
S△ODC=×OD×CD=×6×2=6，
∴S四边形AOCD=S△AOD+S△ODC=12+6=18．