Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0），⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆，若一次函数y=kx+b的图象过点A（-1，0）且与⊙P相切，则k+b的值为    ．

Answer

根据题意画出相应的图形，如图所示当直线AB与圆P相切，切点为B点且B在第一象限时，连接PB，由AB为圆P的切线，利用切线的性质得到AB垂直于BP，可得出三角形ABP为直角三角形，由A和P的坐标求出OA与OP的长，用OA+OP求出AP的长，可得出BP等于AP的一半，根据直角三角形中一直角边等于斜边的一半，可得出此直角边所对的角为30°，得到∠BAP为30°，在直角三角形AOC中，由C的坐标求出OC的长，利用锐角三角函数定义表示出tan30°，将OA的值并利用特殊角的三角函数值化简，求出OC的长，确定出C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将A和C的坐标代入得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到k与b的值，进而求出k+b的值；当直线AB与圆P相切，B为切点，且B在第二象限时，同理求出k+b的值，综上，得到满足题意k+b的值．
【解析】
根据题意画出相应的图形，如图所示：

当直线AB与圆P相切，设切点为B点，且切点B在第一象限时，
连接PB，由AB为圆P的切线，得到BP⊥AB，
又∵A（-1，0），P（3，0），
∴OA=1，OP=3，又BP=2，
则AP=OA+OP=1+3=4，
在Rt△ABP中，BP=AP，
可得出∠BAP=30°，
在Rt△ACO中，OA=1，∠BAP=30°，
∴tan∠BAP=tan30°==OC，
∴OC=，即C（0，），
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A和C的坐标代入得：
，
解得：，
∴k+b=；
当直线AB与圆P相切时，切点B在第四象限时，同理得到k=b=-，
可得k+b=-，
综上，k+b=±．
故答案为：±．