Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）

A．ac＞0
B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．2a-b=0
D．方程ax²+bx+c=0的两根是x₁=-1，x₂=3

Answer

由函数图象可得抛物线开口向下，得到a小于0，又抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c大于0，进而得到a与c异号，根据两数相乘积为负得到ac小于0，选项A错误；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，选项B错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，选项C错误；由抛物线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（-1，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的两根分别为-1和3，选项D正确．
【解析】
由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得：抛物线开口向下，即a＜0，
抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，即c＞0，
∴ac＜0，选项A错误；
由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；
当x＞1时，y随x的增大而减小，故选项B错误；
∵对称轴为直线x=1，∴-=1，即2a+b=0，选项C错误；
由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
则方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，选项D正确．
故选D