Question

一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，且要求售价一定高于成本价，用y（元）表示该店日销售利润、（日销售利润=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出）
（1）当每份套餐售价不超过10元时，请写出y与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当每份售价超过10元时，该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有最高的日销售利润．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少？
（3）新年即将到来，该快餐店准备为某福利院30个小朋友送去新年的礼物，已知购买一份礼物需要20元，于是快餐店统一将套餐的售价定为10元以上，并且每卖出一份快餐就捐出2元作为福利院小朋友购买礼物的经费，则快餐店在售价不超过14元的情况下至少将套餐定为多少钱一份，可使日销售利润（不包含已捐出的钱）达到900元？并通过分析判断此时所集经费是否能够为福利院每个小朋友都购买一份礼物．
（其中≈4.36，）

Answer

（1）不超过10元时，日销售利润=（每份售价-每份成本）×销售量-固定支出费用；
（2）超过10元时，日销售利润=（每份售价-每份成本）×销售量-固定支出费用，而销售量=400-（x-10）×40，列出函数关系式，根据二次函数的性质，求利润最大时，整数x的值，再根据销售量较大，售价较低取值；
（3）此时，日销售利润=（每份售价-每份成本-2）×销售量-固定支出费用，而销售量=400-（x-10）×40，列出函数关系式，根据y=900，列方程求解，再计算销售量及集资资金．
【解析】
（1）y=（x-5）•400-600
=400x-2600（5＜x≤10的正整数）；

（2）当x＞10时，
y=（x-5）•[400-（x-10）×40]-600
=-40x2+1000x-4600
=-40[x2-25x+（）2]+×40-4600
=-40（x-）2+1650，
又∵x只能为整数，
∴当x=12或13时，日销售利润最大，
但为了吸引顾客，提高销量，取x=12，
此时的日利润为：-40x（12-12.5）2+1650=1640元；

（3）y=（x-5-2）[400-（x-10）•40]-600
=（x-7）（800-40x）-600
=-40x2+1080x-6200，
令：-40x2+1080x-6200=900，
2x2-54x+355=0，
b2-4ac=76，
∴x=，
∵，
∴x1≈15.68≈16＞14（舍），
x2≈11.32≈12，
∴套餐售价至少定为12元/份，可达到日销售利润为900元，
此时销售的份数为：400-（12-10）×40=400-80=320份，
∴为福利园所集资金：320×2=640元，
∵30×20=600＜640，
∴快餐店所集经费能为福利院每个小朋友都购买一份礼物．