Question

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．

Answer

（1）若点D为AB边上的黄金分割点，则有．如果设△ABC的边AB上的高为h，根据三角形的面积公式，易得，，即有，根据图形的黄金分割线的定义即可判断；
（2）由于等底同高的两个三角形的面积相等，所以三角形任意一边上的中线都将三角形分成面积相等的两部分，即有，则，从而可知三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；
（3）由于直线CD是△ABC的黄金分割线，所以．要想说明直线EF也是△ABC的黄金分割线，只需证明，即证S△ADC=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC即可．因为DF∥CE，所以△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，所以有S△DFC=S△DFE，所以S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．
（4）根据黄金分割线的定义即可作出．本题答案不唯一，作法有无数种．
【解析】
（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h．
则，，，
∴，．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴，
∴．
故直线CD是△ABC的黄金分割线．

（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴，即，
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．

（3）∵DF∥CE，
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，
∴S△DFC=S△DFE，
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．
又∵，
∴．
因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）

（4）画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．

（9分）