Question

如图，已知边长为4的正方形ABCD中，E为CD中点，P为BE中点，F为AP中点，FH⊥AB交AB于H，连接PH．则下列结论正确的有（ ）
①BE=AE；②sin∠PAE=；③HP∥AE；④HF=1；⑤S_△AFC=1．

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

利用全等的判定可判断出①，利用反推法判断②，过点P作PM⊥AB于M，也是利用反推法得出矛盾，从而判断出③，过点P作PM⊥AB于M，过点E作EN⊥AB于点N，利用中位线的知识可求出HP，过点P作PM⊥AB于点M，作PL⊥BC于点L，则根据中位线的知识，可得出PM=2，PL=1，先求出S△AFC，继而可得出S△ABC的值．
【解析】
（1）由于AD=BC，CE=DE，∠BCE=∠ADE，所以△DAE≌△CBE，BE=AE，所以①正确；
（2）由于△ABE不是等边三角形而是等腰三角形，而P是BE中点，所以AP并不垂直于BP，BE=2EP，只有当∠APE=90°时sin∠EAP=，但∠EPA并不等于90°，所以②不正确；
（3）过点P作PM⊥AB于M，

由于F是AP中点，则HF是△APM的一条中位线，即H是AM中点，不是AB中点，故HP不是△BAE的中位线，也就可得出HP不平行AE，所以③错误；
（4）过点P作PM⊥AB于M，过点E作EN⊥AB于点N，

由点P是BE中点可得PM是△BNE的中位线，PM=NE=2，（3）得出了HF是△APM的中位线，HF=PM，故可得HF=PM=1，故④正确；
（5）
过点P作PM⊥AB于点M，作PL⊥BC于点L，则根据中位线的知识，可得出PM=2，PL=1，从而求出S△APC=S△ABC-S△ABP-S△BPC=8-2-4=2，
再由AF=FP可得S△AFC=S△ABC=1，故⑤正确．
综上可得①④⑤正确，共三个．
故选C．