Question

如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．

Answer

（1）根据圆周角定理BC得到∠BDC=90°，推出∠ACD+∠DCB=90°，即BC⊥CA，即可判断CA是圆的切线；
（2）根据锐角三角函数的定义得到tan∠AEC=，tan∠ABC=，推出AC=EC，BC=AC，代入BC-EC=BE即可求出AC，进一步求出BC即可．
（1）证明：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠DCB=90°，
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．

（2）【解析】
在Rt△AEC中，tan∠AEC=，
∴=，
EC=AC，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=，
∴=，
BC=AC，
∵BC-EC=BE，BE=6，
∴，
解得：AC=，
∴BC=×=10，
答：圆的直径是10．