Question

如图，正方形ABCD中，E与F分别是AD、BC上一点．在①AE=CF、②BE∥DF、③∠1=∠2中，请选择其中一个条件，证明BE=DF．
（1）你选择的条件是______（只需填写序号）
证明：
（2）在BE=DF的前提下，当E点位于AD什么位置时，EF∥CD？请说明理由．

Answer

（1）有所选条件加上已知条件看能附证明结论，若选①可通过SAS证明△BAE≌△DCF，所以可证出BE=DF．若选②则可判断四边形EBFD为平行四边形，可证得BE=DF．若选③可判断出△AEB≌△CFD，可证得BE=DF．
（2）EF∥CD可知EF⊥BC，又因为BE=DF，故可判断E在AD的中点处．
解法一：（1）选①；
（2）证明：∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠A=∠C=∠Rt
又∵AE=CF，
∴△AEB≌△CFD，
∴BE=DF．

解法二：（1）选②；
（2）证明：∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC
又∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴BE=DF．

解法三：（1）选③；）
（2）证明：∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，⊙∠A=∠C=∠Rt
又∵∠1=∠2，
∴△AEB≌△CFD．
∴BE=DF．

（2）当E位于AD中点时，EF∥CD，
理由：∵BE=DF，AB=CD，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD．
∴AE=CF，又AE=DE，所以DE=CF，
又∵DE∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，所以EF∥CD．