Question

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm²）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

Answer

（1）当t=1时，根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系．
（2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S，求出S和t的关系式．
（3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解．
【解析】
（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2----------（1分）

由S=S梯形GCBE-S△EBF-S△FCG----------（2分）
=×-
=×（10+2）×8-×10×4-
=24（cm2）----------（3分）

（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE=2t，EB=12-2t，BF=4t，FC=8-4t，CG=2t
S=S梯形GCBE-S△EBF-S△FCG 
=×（EB+CG）•BC-EB•BF-FC•CG
=×8×（12-2t+2t）-×4t（12-2t）-×2t（8-4t）
=8t2-32t+48．----------（4分）
②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4----------（5分）
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t-8，CG=2t
FG=CG-CF=2t-（4t-8）=8-2t
S=FG•BC=（8-2t）•8=-8t+32．
即S=-8t+32----------（6分）

（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°
1若=，即=，
解得t=．
又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG----------（7分）
2若=即=，解得t=．
又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF----------（8分）
综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．