Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE=3，连接BD，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：EM是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD=45°时，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）首先连接OE，由弦DE垂直平分半径OA，根据垂径定理可求得OC与OE的关系，求得CE的长，然后根据直角三角形的性质，求得∠OEC=30°，根据三角函数的性质，则可求得⊙O的半径；
（2）由垂径定理，可得，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得∠B的度数，即可求得∠EDB的度数，又由EM∥BD，可求得∠MED的度数，继而求得∠MEO=90°，即可证得EM是⊙O的切线；
（3）由∠APD=45°，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得∠EOF的度数，然后根据S阴影=S扇形EOF-S△EOF，即可求得答案．
（1）【解析】
连接OE．
∵DE垂直平分半径OA，
∴OC=OA
∵OA=OE，
∴OC=OE，CE=DE=，
∴∠OEC=30°，
∴OE==；

（2）证明：由（1）知：∠AOE=60°，，
∴∠B=∠AOE=30°，
∴∠BDE=60°
∵BD∥ME，
∴∠MED=∠BDE=60°，
∴∠MEO=∠MED+∠OEC=60°+30°=90°，
∴OE⊥EM，
∴EM是⊙O的切线；

（3）【解析】
连接OF．
∵∠DPA=45°，
∵∠DCB=90°，
∴∠CDP=45°，
∴∠EOF=2∠EDF=90°，
∴S阴影=S扇形EOF-S△EOF==π-．