Question

如图，△ABC中，CD⊥AB于D，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是直角三角形的是    ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠ACD=∠B；②∠A：∠B：∠C=4：3：5；③AC•BC=AB•CD；④．

Answer

要想证明△ABC是直角三角形，只需证明∠ACB=∠CAD=∠CDB=90°即可．
【解析】
①在△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠ACD=∠B，
∴∠CAD+∠B=90°，
∴在△ACB中，∠ACB=180°-∠CAD+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故本选项正确；
②∵∠A：∠B：∠C=4：3：5，∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和是180°），
∴∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形；
故本选项错误；
③∵S△ABC=AC．BCsinC=A B．CD=AC．BC，
∴sinC=1，故∠C=90°，
故③正确；

④在△CDB与△ADC中，
=，
∠BDC=∠ADC=90°，
∴△CDB∽△ACD（SAS），
∴∠ACD=∠B，
∴∠CAD+∠B=90°，
∴在△ACB中，∠ACB=180°-∠CAD+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①③④．
故答案为：①③④．