Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，点P在边AC上（点P与A、C不重合），过点P作PE∥BC，交AD于点E．
（1）设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，求∠DPE的正切值；
（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连接B′C．如果∠ACE=∠BCB′，求AP的值．

Answer

（1）首先根据勾股定理求得AD的长，又由平行线分线段成比例定理求得DE的长，则可得y与x的关系；
（2）因为当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有DE=PE+BD，所以可以求得x的值，即可求得PC的长，则在Rt△PCD中，根据三角函数的性质即可求得tan∠DPE的值；
（3）首先由有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△ACD∽△BFD与△ACE∽△BCB′，又由相似三角形对应边成比例，即可求得AP的值．
【解析】
（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3，
∴AD=5，
∵PE∥BC，
∴，
∴，
∴AE=x，
∴DE=5-x，
即y=5-x，（0＜x＜4）；

（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有DE=PE+BD，即5-x=x+2，
解之得x=，
∴PC=，
∵PE∥BC，
∴∠DPE=∠PDC，
在Rt△PCD中，
tan∠PDC===；
∴tan∠DPE=；

（3）延长AD交BB′于F，则AF⊥BB′，连接CE，
则∠ACD=∠BFD，
∵∠ADC=∠FDB，
∴∠CAD=∠FBD，
∴△ACD∽△BFD，
∴BF=，
∴BB′=，
∵∠ACE=∠BCB′，∠CAE=∠CBB′，
∴△ACE∽△BCB′，
∴AE=，
∴t=AP=．