Question

马田同学将一张圆桌紧靠在矩形屋子的一角，与相邻两面墙相切，她把切点记为A、B，然后，她又在桌子边缘上任取一点P（异于A、B），通过计算∠APB的度数，她惊奇的发现∠APB的度数的，正好都和她今天作业中的一条抛物线与x轴的交点的横坐标完全相同，她作业中的那条抛物线还经过点C（10，17）．聪明的你：
（1）请你求出∠APB的度数；
（2）请你求出马田同学作业中的那条抛物线的对称轴方程．

Answer

（1）设圆桌所在圆的圆心为O，过切点的切线AC、BC交于C，P为异于A、B的圆周上的任意一点，由与点P的位置不能确定，故①当P在 上时，如图中的P1，连接AP1、BP1、AO、BO，由矩形的性质及圆周角定理可求出∠AP1B=45°的度数；
②当P在上时，如图中的P2，连接AP2、BP2，由圆内接四边形的性质可得出∠AP2B的度数；
（2）由（1）中所知∠APB=45的度数可得出∠APB的值，再设出抛物线的解析式，把C点代入即可得出此解析式，再由抛物线的对称轴方程即可得出结论．
【解析】
（1）设圆桌所在圆的圆心为O，过切点的切线AC、BC交于C，p为异于A、B的圆周上的任意一点．
当P在 上时，如图中的P1，连接AP1、BP1、AO、BO，
则OA⊥AC，OB⊥BC，BC⊥AC．
∴四边形ACBO是矩形，
∴∠AOB=90°，
∴∠AP1B=45°，
当P在 上时，如图中的P2，连接AP2、BP2，则∠AP2B=180°-45°=135°；

（2）∵∠APB=45°或135°
∴，
依题意，9、27是所求抛物线与x轴交点的横坐标，故可设所求的
抛物线的解析式为：y=a（x-9）（x-27）（a≠0）…10’
∵抛物线经过点C（10，17）
∴a（10-9）（10-27）=17
解之得：a=-1，
∴y=-（x-9）（x-27）即y=-x2+36x-243，
∴抛物线的对称轴方程为x=-即x=18．