Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD的延长线交于点F，如果DE=CE，AC=，D为EF的中点．
（1）求证：∠AFC=∠ACF；
（2）求AB的长．

Answer

（1）连接BC，由AF为圆O的切线，利用切线的性质得到AB与AF垂直，可得出∠DAF与∠DAB互余，再由D为EF的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及中点的定义得到AD=DE=DF，利用等边对等角得到∠DAF=∠AFC，又AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠ACB为直角，即∠ECB与∠FCA互余，再由同弧所对的圆周角相等得到∠ECB=∠DAB，利用等角的余角相等可得出∠DAF=∠FCA，等量代换可得出∠FCA=∠AFC；
（2）过C作CG垂直于AB，垂足为G，又AF垂直于AB，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行，得到AF与CG平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEF与三角形ECG相似，由相似得比例列出比例式，由DF=DE及DE与EC的比值，求出CE与EF的比值，可得出AF与CG的比值，又AF=AC，进而确定出AC与CG的比值，利用锐角三角形函数定义求出cos∠CAB的值，在直角三角形ABC中，由AC的长及cos∠CAB的值，利用锐角函数定义即可求出AB的长．
【解析】
（1）连接BC，AD．
∵AF为⊙O的切线，
∴AF⊥AB，即∠DAF+∠DAB=90°，
∵D为EF的中点，
∴DF=DE=AD，
∴∠DAF=∠AFC，
∵∠DAF=∠ACF，
∴∠FCA=∠AFC；

（2）过C作CG⊥AB于G，
∵AF⊥AB，
∴AF∥CG，
∴∠F=∠ECG，又∠AEF=∠CEG，
∴△AEF∽△GEC，
∴AF：CG=AE：EG=EF：EC，
∵DE=CE，DF=DE，
∴CE：FE=2：3，
∴CG：AF=2：3，…（3分）
∵∠FCA=∠AFC，
∴AF=AC=8，
Rt△ACG中，CG：AC=2：3，
∴cos∠CAB=，…（4分）
在Rt△ACB中，AC=8，
∴AB==24．…（5分）