Question

在直角坐标系中，如图所示，把∠BAC放在直角坐标系中，使射线AC与x轴重合，已知∠BAC=30°，OA=OB=1，过点B作BA₁⊥OB交x轴于A₁，过点A₁做B₁A₁⊥BA₁交直线AB于点B₁，过B₁做B₁ A₂⊥B₁A₁交x轴于点A₂，再过A₂依次作垂直…．
（1）求A、B点坐标（直接写出答案）
（2）求直线AB的解析式
（3）求△A₆B₆A₇的面积．

Answer

（1）根据OA的长即可求出A的坐标，根据OB和∠BOA1=60°，即可求出B的坐标；
（2）设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（3）推出∠BAC=∠ABO=30°，求出∠BOC=60°，∠BA1O=30°，求出BA1=，求出A1B1=×、B1A2=3=××，同理求出A6B6=12个相乘，B6A7=13个相乘，根据三角形的面积公式求出即可．
（1）【解析】
A（-1，0），B（，）．

（2）【解析】
设直线AB的解析式是：y=kx+b，
把A（-1，0），B（，）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=x+．

（3）【解析】
∵OB=OA=1，
∴∠BAC=∠ABO=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠BA1O=30°，
∴BA1=，
同理∠BB1A1=30°，
∴B1A1=3=×，
同理：B1A2=3=××，
…
A6B6=××…×（12个相乘），
B6A7=××…×（13个相乘），
∴△A6B6A7的面积是：A6B6×B6A7=×（××…×）×（××…×）=，
答：△A6B6A7的面积是．