Question

已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（3a，-a）（a＞0），且点B在反比例函数的图象上．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，且满足△ABM是直角三角形，请直接写出点M的坐标．

Answer

（1）根据点B（3a，-a）在反比例函数的图象上，代入反比例函数解析式求出a的值再用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据所得三角形为直角三角形，利用直角三角形的性质解答．
【解析】
（1）∵点B（3a，-a）在反比例函数的图象上，
∴，a=±1，
∵a＞0，
∴a=1，…（1分）
∴B（3，-1），
∵A（1，0）和B（3，-1）在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，
∴，
解得 ，…（2分）
∴一次函数的解析式为．…（3分）
（2）①设M1（0，a），
则AM12=1+a2，BM12=9+（a+1）2，AB2=5，
∵9+（a+1）2＞5，9+（a+1）2＞1+a2，
∴BM1为斜边：AM12+AB2=BM12，即1+a2+5=9+（a+1）2，解得a=-2，即M1（0，-2）；
②设M2（0，b），
CA==，
CB=+=，
M2C2=CB2+BM2，
则有（-b）2=（）2+（3-0）2+（-1-b）2，
解得b=-7．
故得M2（0，-7）…（5分）