Question

如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为    ；经过18次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为    ；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为    ．（结果都保留π）

Answer

从图中可以看出，第一次旋转是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60度．第二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，圆心角是60度．第三次就是以点B为旋转中心，OB为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转18次，就是这样的6个弧长的总长，依此计算即可得，进而得出经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长．
【解析】
∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，
BO=DO=1，
AO==，
第一次旋转的弧长==π，
∵第一、二次旋转的弧长和=+=π+π=π，
第三次旋转的弧长为：=
∵18÷3=6，
故中心O所经过的路径总长=6（π+）=（4+2）π，
故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n×（π+）=nπ．
故答案为：π，（4+2）π，nπ．