Question

已知关于x的方程（k-1）x²+2kx+k+3=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程y²+（a-4k）y+a+1=0的整数根（a为正整数）．

Answer

（1）由方程有两个不相等的实数根，即可得此一元二次方程的根的判别式△＞0，又由二次项系数k-1≠0，即可求得k的取值范围；
（2）首先由方程有两个相等的实数根，即△=0，求得k的值，即可得方程y2+（a-6）y+a+1=0，又由此方程的判别式△′=（a-8）2-32，可得当（a-8）2-32是完全平方数时，方程才有可能有整数根，继而分析求解即可求得答案．
【解析】
（1）∵关于x的方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=（2k）2-4×（k-1）×（k+3）=4k2-4k2-8k+12=-8k+12＞0…（1分）
解得：k＜，
∵k-1≠0，即k≠1，
∴k的取值范围是k＜且k≠1． …（3分）

（2）∵当方程有两个相等的实数根时，△=-8k+12=0．
∴k=． …（4分）
∴关于y的方程为y2+（a-6）y+a+1=0．
∴△′=（a-6）2-4（a+1）=a2-12a+36-4a-4=a2-16a+32=（a-8）2-32．
由a为正整数，当（a-8）2-32是完全平方数时，方程才有可能有整数根．
设（a-8）2-32=m2（其中m为整数），32=p•q（p、q均为整数），
∴（a-8）2-m2=32．即（a-8+m）（a-8-m）=32．
不妨设两式相加，得a=．
∵（a-8+m）与（a-8-m）的奇偶性相同，
∴32可分解为2×16，4×8，（-2）×（-16），（-4）×（-8），
∴p+q=18或12或-18或-12．
∴a=17或14或-1（不合题意，舍去）或2．
当a=17时，方程的两根为y=，即y1=-2，y2=-9．…（5分）
当a=14时，方程的两根为y=，即y1=-3，y2=-5．…（6分）
当a=2时，方程的两根为y=，即y1=3，y2=1． …（7分）