Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3），
（1）求抛物线的解析式；
（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B，求平移后抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P，使△OA′P的面积与四边形AA′B′B的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）将点A及点B的坐标代入抛物线方程，利用待定系数法求出m、n即可．
（2）令y=3，解出x的值，从而根据平移后的抛物线仍经过点B，可得出平移的长度，继而可得出平移后抛物线的解析式．
（3）先求出四边形AA′B′B的面积，然后设P点的纵坐标为yP，利用面积相等可得出方程，解出即可得出点P的坐标．
【解析】
（1）由题意得，抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3），
故可得：，
解得：．
即抛物线的解析式为：．

（2）令y=3，得，得x1=0，x2=-2，
∵抛物线向右平移后仍经过点B，
∴抛物线向右平移2个单位，
∵==，
∴平移后的抛物线解析式为．

（3）由抛物线向右平移2个单位，得A'（-2，0），B'（2，3），
又∵四边形AA'B'B为平行四边形，
∴其面积=AA'•OB=2×3=6，
设P点的纵坐标为yP，由△OA'P的面积=6，
故可得，即，
解得：|yP|=6，yP=±6，
当yP=6时，方程无实根，
当yP=-6时，方程的解为x1=6，x2=-4．
故点P的坐标为（6，-6）或（-4，-6）．