Question

已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．
（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形并求出该矩形的面积；
（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t，求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer

（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．当PQ∥AB时即可得出四边形MNQP是矩形，根据特殊角的三角函数值求出四边形MNQP的面积；
（2）根据①当0＜t＜1时；②当1≤t≤2时；③当2＜t＜3时，分别求出四边形MNQP的面积，即四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
【解析】
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD=2，
当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，
即当AM=时，四边形MNQP是矩形，
∴t=秒时，四边形MNQP是矩形，
∵PM=AMtan60°=，
PQ=MN=AB-2AM=4-3=1，
∴S四边形MNQP=PM•PQ=；

（2）①当0＜t≤1时，点P、Q都在AC上，并且四边形PMNQ为直角梯形，
在Rt△AMP中，
∵∠A=60°，AM=t，tan∠A=，
∴PM=tan60°×AM=AM=t，
在Rt△ANQ中，
而AN=AM+MN=t+1，
∴QN=AN=（t+1），
∴S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[t+（t+1）]=t+；
②当1＜t＜2时，
点P在AC上，点Q在BC上，
PM=t，
BN=AB-AM-MN=4-1-t=3-t，
在Rt△BNQ中，
QN=BN=（3-t），
∴S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[t+（3-t）]×1=；
③当2≤t＜3时，点P、Q都在BC上，
BM=4-t，BN=3-t，
∴PM=BM=（4-t），QN=BN=（3-t），
∴S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[（3-t）+（4-t）]=-t．        （10分）