Question

如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60度．
（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标．
（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D，C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明．
（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式．

Answer

（1）∠ABO=60°则∠ADO=60°，在直角△AOD中，根据三角函数就可以求出OD的长，则可以求出D的坐标．
（2）若点C的坐标为（-1，0），在直角△CDO中，根据三角函数就可以求出∠CDO的度数．进而得到∠CDA的度数．从而判断过D，C的直线与△AOB的外接圆的位置关系．
（3）函数经过O，A两点，因而对称轴是OA的垂直平分线与圆的交点，过交点作OA的垂线，利用三角函数，就可以求出OA的垂直平分线与圆的交点的坐标，再根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
【解析】
（1）连接AD，则∠ADO=∠B=60°，
在Rt△ADO中，∠ADO=60°，
所以OD=OA÷=3÷=，
所以D点的坐标是（0，）；

（2）猜想：CD与圆相切，
∵∠AOD是直角，
∴AD是圆的直径，
又∵tan∠CDO===，∠CDO=30°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=90°，即CD⊥AD，
∴CD切外接圆于点D；

（3）依题意可设二次函数的解析式为：
y=α（x-0）（x-3），
由此得顶点坐标的横坐标为：x==；
即顶点在OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线EF，
则得∠EFA=∠B=30°，
即得到EF=EA=可得一个顶点坐标为（，），
同理可得另一个顶点坐标为（，），
分别将两顶点代入y=α（x-0）（x-3）
可解得α的值分别为，，
则得到二次函数的解析式是y=x（x-3）或y=x（x-3）．