Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=-x+3恰好经过B，C两点
（1）写出点C的坐标；
（2）求出抛物线y=x²+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

Answer

（1）由直线y=-x+3可求出C点坐标；
（2）由B，C两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A点坐标；
（3）作出辅助线OE，由三角形的两个角相等，证明△AEC∽△AFP，根据两边成比例，便可求出PF的长度，从而求出P点坐标．
【解析】
（1）y=-x+3与y轴交于点C，故C（0，3）．

（2）∵抛物线y=x2+bx+c过点B，C，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3=（x-1）×（x-3），
∴对称轴为x=2，
点A（1，0）．

（3）由y=x2-4x+3，
可得D（2，-1），A（1，0），
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，．如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，

∴AF=AB=1．
过点A作AE⊥BC于点E．
∴∠AEB=90度．
可得，．
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴，
解得PF=2．
或者直接证明△ABC∽△ADP得出PD=3，
再得PF=2．
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）．