Question

如图，已知二次函数y=（x+m）²+k-m²的图象与x轴相交于两个不同的点A（x₁，0）、B（x₂，0），与y轴的交点为C．设△ABC的外接圆的圆心为点P．
（1）求⊙P与y轴的另一个交点D的坐标；
（2）如果AB恰好为⊙P的直径，且△ABC的面积等于，求m和k的值．

Answer

（1）令x=0，代入抛物线解析式，即求得点C的坐标．由求根公式求得点A、B的横坐标，得到点A、B的横坐标的和与积，由相交弦定理求得OD的值，从而得到点D的坐标．
（2）当AB又恰好为⊙P的直径，由垂径定理知，点C与点D关于x轴对称，故得到点C的坐标及k的值．根据一元二次方程的根与系数的关系式表示出AB线段的长，由三角形的面积公式表示出△ABC的面积，可求得m的值．
【解析】
（1）易求得点C的坐标为（0，k）
由题设可知x1，x2是方程（x+m）2+k-m2=0即x2+2mx+k=0的两根，
所以x1，2=，
所x1+x2=-2m，x1•x2=k（1分）
如图，∵⊙P与y轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连接DB，
∴△AOC∽△DOB，则OD=（2分）
由题意知点C在y轴的负半轴上，从而点D在y轴的正半轴上，
所以点D的坐标为（0，1）（3分）

（2）∵AB⊥CD，AB又恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，
所以点C的坐标为（0，-1），
即k=-1（4分）
又AB=|x2-x1|==，
所以S△ABC=AB×OC=×2×1=，
解得m=±2．（正值舍去）（6分）
∴k=-1，m=-2．