Question

如图1，以点O为圆心，半径为4的圆交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，点P为弧AC上的一动点，延长CP交x轴于点E；连接PB，交OC于点F．
（1）若点F为OC的中点，求PB的长；

（2）求CP•CE的值；
（3）如图2，过点OH∥AP交PD于点H，当点P在弧AC上运动时，试问的值是否保持不变；若不变，试证明，求出它的值；若发生变化，请说明理由．

Answer

（1）求PB的长，连接AP，可以通过证明△ABP∽△BOF，根据相似三角形的性质得出；
（2）求CP•CE的值，连接BC，CA，易证明AC=BC，得出∠CPB=∠EBC，再证明△BCP∽△ECB，得出比例的乘积形式即可；（3）的值可以通过比例的形式，证明△CAP∽△ODH得出．
（本题满分8分）
【解析】
（1）连接AP，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=∠FOB=90°．
∵∠ABP=∠FBO，
∴△ABP∽△BOF．
∴．（1分）
∵，
∴．
∴．（2分）

（2）连接BC，
∵OC⊥AB，，
∴=，
∴∠CPB=∠EBC．（3分）
∵∠BCP=∠BCE，
∴△BCP∽△ECB．
∴．（4分）
∴BC2=CP•CE=32．（5分）

（3）的值保持不变．（6分）
连接PC，AC，
∵OH∥AP，
∴∠APD=∠OHP=∠AOD=45°．
∴∠CPA=∠OHD=135°．
又∵∠CAP=∠ODH，
∴△CAP∽△ODH．（7分）
∴．
当点P在弧AC上运动时，的值保持不变，的值为．（8分）