Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过Q做QR⊥AB，垂足为Q，QR交折线AC-CB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB-BC-CA移动，设移动时间为t秒（如图2）．

（1）求△BCQ的面积S与t的函数关系式．
（2）t为何值时，QP∥AC？
（3）t为何值时，直线QR经过点P？
（4）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部，求此时t的取值范围．

Answer

（1）过C作CD垂直于AB于D点，由AB及AQ的长，利用AB-AQ表示出QB的长，直角三角形ABC的面积有两种求法，两直角边乘积的一半，或斜边乘以斜边上的高的一半，两种求法表示的面积相等可得出CD的长，三角形BQC以QB为底边，CD为高，利用三角形的面积公式即可求出；
（2）当PQ∥AC时，利用两直线平行得到两对同位角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到△BPQ∽△BCA，由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值；
（3）分三种情况讨论即可：①当Q、P均在AB上时，可得出AP=6t，AQ=2+2t，令AP=AQ列出关于t的方程，求出方程的解得到此时t的值；②当P在BC上时，如图所示，由一对直角相等及一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形BPQ与三角形ABC相似，由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解得到此时t的值；③当P在AC上不存在QR经过点P，综上，得到所有满足题意的t的值；
（4）抓住两种临界情况：当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，则PQ=2+2t-6t=2-4t，由△APN∽△ACB得=，求出此时的t值；当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，则由△BPN∽△BCA得=，进而求出此时的t值，综上两种情况，可得出以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部时t的取值范围．
【解析】
（1）过C作CD⊥AB于D点，如图所示：

∵AB=10，AQ=2+2t，
∴QB=AB-AQ=10-（2+2t）=8-2t，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
根据勾股定理得：BC=6，
∵AC•BC=AB•CD，即×6×8=×10×CD，
∴CD=，
则S△BCQ=QB•CD=（8-2t）=-t+（0≤t≤8）；

（2）当PQ∥AC时，可得∠BPQ=∠C，∠BQP=∠A，
∴△BPQ∽△BCA，又BQ=8-2t，BP=6t-10，
∴=，即=，
整理得：6（8-2t）=10（6t-10），
解得：t=，
则t=时，QP∥AC；

（3）①当Q、P均在AB上时，AP=6t，AQ=2+2t，
可得：AP=AQ，即6t=2+2t，
解得：t=0.5s；
②当P在BC上时，P与R重合，如图所示：

∵∠PQB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BPQ∽△BAC，
∴=，又BP=6t-10，AB=10，BQ=8-2t，BC=6，
∴=，即6（6t-10）=10（8-2t），
解得：t=2.5s；
③当P在AC上不存在QR经过点P，
综上，当t=0.5s或2.5s时直线QR经过点P；

（4）当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，如图所示：

∵AP=6t，AQ=2+2t，
∴PQ=AQ-AP=2+2t-6t=2-4t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=PQ=2-4t，
∵∠APN=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△APN∽△ACB，
∴=，即=，
解得：t=，
当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，如图所示：

由题意得：BP=10-6t，PN=PQ=4t-2，
∵∠BPN=∠BCA=90°，∠B=∠B，
∴△BPN∽△BCA，
∴=，即=，
整理得：8（10-6t）=6（4t-2），
解得：t=，
∵t=0.5时点P与点Q重合，
∴≤t≤且t≠0.5时正方形PQMN在Rt△ABC内部．