Question

如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx²-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，则m的值为（ ）

A．0
B．
C．-1
D．0或或-1

Answer

由一次函数y=kx-1的图象平分等腰梯形ABCD的面积，得到此一次函数过等腰梯形的对称中心，找出此对称中心的坐标，代入一次函数解析式中求出k的值，将k的值代入关于x的函数解析式中，分两种情况考虑：当m=0时，此函数为一次函数，经检验此一次函数与坐标轴只有两个交点；当m不为0时，此函数关于x的二次函数，再分两种情况：抛物线过原点；抛物线顶点在x轴上，保证抛物线与坐标轴只有两个交点，当抛物线过原点时，将原点坐标代入二次函数解析式中求出此时m的值；当抛物线顶点在x轴上时，抛物线与x轴只有一个交点，可得出根的判别式等于0，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，综上，得到所有满足题意的m的值．
【解析】
过B作BM⊥x轴于M点，连接OB，CM，交于N点，如图所示：

由B（4，2），得到N（2，1），
将x=2，y=1代入y=kx-1得：1=2k-1，
解得：k=1，
将k=1代入y=mx2-（3m+k）x+2m+k得：y=mx2-（3m+1）x+2m+1，
分两种情况考虑：
当m=0时，函数解析式为y=-x+1，经检验与坐标轴只有两个交点，符合题意；
当m≠0时，此函数为二次函数，
（i）当抛物线过原点，即2m+1=0，即m=-时，抛物线与坐标轴只有两个交点，符合题意；
（ii）当抛物线与x轴只有一个交点，即b2-4ac=（3m+1）2-4m（2m+1）=（m+1）2=0，即m=-1时，
抛物线与坐标轴只有两个交点，符合题意，
综上，满足题意的m的值为0或-或-1．
故选D