Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．若点M在DE上，且DC=DM，试探究线段ME与BD的数量关系，并说明理由．

Answer

连接CM，求出∠DAB=∠DBA=30°，求出AD=BD，证△ADC≌△BDC，求出∠ACD=∠BCD=45°，求出∠MDC=60°，的等边三角形CMD，得出CM=CD，求出∠EMC=∠ADC=120°，证△ADC≌△EMC，推出AD=EM即可．
【解析】
连接MC，在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，又AC=BC
∴△BDC≌△ADC（SSS），
∴∠DCA=∠DCB=45°，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∵DC=DM，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=DB，
∴ME=BD．